Списки являются моноидами

Да, списки являются моноидами! Как вы уже видели, функция ++ с пустым списком [] образуют моноид. Экземпляр очень прост:

instance Monoid [a] where

   mempty = []

   mappend = (++)

Для списков имеется экземпляр класса Monoid независимо от типа элементов, которые они содержат. Обратите внимание, что мы написали instance Monoid [a], а не instance Monoid [], поскольку класс Monoid требует конкретный тип для экземпляра.

При тестировании мы не встречаем сюрпризов:

ghci> [1,2,3] `mappend` [4,5,6]

[1,2,3,4,5,6]

ghci> ("один" `mappend` "два") `mappend` "три"

"одиндватри"

ghci> "один" `mappend` ("два" `mappend` "три")

"одиндватри"

ghci> "один" `mappend` "два" `mappend` "три"

"одиндватри"

ghci> "бах" `mappend` mempty

"бах"

ghci> mconcat [[1,2],[3,6],[9]]

[1,2,3,6,9]

ghci> mempty :: [a]

[]

Обратите внимание, что в последней строке мы написали явную аннотацию типа. Если бы было написано просто mempty, то интерпретатор GHCi не знал бы, какой экземпляр использовать, поэтому мы должны были сказать, что нам нужен списковый экземпляр. Мы могли использовать общий тип [a] (в отличие от указания [Int] или [String]), потому что пустой список может действовать так, будто он содержит любой тип.

Поскольку функция mconcat имеет реализацию по умолчанию, мы получаем её просто так, когда определяем экземпляр класса Monoid для какого-либо типа. В случае со списком функция mconcat соответствует просто функции concat. Она принимает список списков и «разглаживает» его, потому что это равнозначно вызову оператора ++ между всеми смежными списками, содержащимися в списке.

Законы моноидов действительно выполняются для экземпляра списка. Когда у нас есть несколько списков и мы объединяем их с помощью функции mappend (или ++), не имеет значения, какие списки мы соединяем первыми, поскольку так или иначе они соединяются на концах. Кроме того, пустой список действует как единица, поэтому всё хорошо.

Обратите внимание, что моноиды не требуют, чтобы результат выражения a `mappend` b был равен результату выражения b `mappend` a. В случае со списками они очевидно не равны:

ghci> "один" `mappend` "два"

"одиндва"

ghci> "два" `mappend` "один"

"дваодин"

И это нормально. Тот факт, что при умножении выражения 3 * 5 и 5 * 3 дают один и тот же результат, – это просто свойство умножения, но оно не выполняется для большинства моноидов.