13.2.2. Задача о ханойской башне

13.2.2. Задача о ханойской башне

Задача о ханойской башне (рис. 13.6) — это еще один классический пример эффективного применения метода разбиения задачи на подзадачи и построения И / ИЛИ-графа. Для простоты мы рассмотрим упрощенную версию этой задачи, когда в ней участвует только три диска:

Имеется три колышка 1, 2 и 3 и три диска аb и с (а — наименьший из них, а с — наибольший). Первоначально все диски находятся на колышке 1. Задача состоит в том, чтобы переложить все диски на колышек 3. На каждом шагу можно перекладывать только один диск, причем никогда нельзя помещать больший диск на меньший.

Эту задачу можно рассматривать как задачу достижения следующих трех целей:

(1) Диск а — на колышек 3.

(2) Диск b — на колышек 3.

(3) Диск с — на колышек 3.

Беда в том, что эти цели не независимы. Например, можно сразу переложить диск а на колышек 3, и первая цель будет достигнута. Но тогда две другие цели станут недостижимыми (если только мы не отменим первое наше действие). К счастью, существует такой удобный порядок достижения этих целей, из которого можно легко вывести искомое решение.

Рис. 13.6. Задача о ханойской башне

Порядок этот можно установить при помощи следующего рассуждения: самая трудная цель — это цель 3 (диск с — на колышек 3), потому что на диск c наложено больше всего ограничений. В подобных ситуациях часто срабатывает хорошая идея: пытаться достичь первой самую трудную цель. Этот принцип основан на следующей логике: поскольку другие цели достигнуть легче (на них меньше ограничений), можно надеяться на то, что их достижение возможно без отмены действий на достижение самой трудной цели.

Применительно к нашей задаче это означает, что необходимо придерживаться следующей стратегии:

Первой достигнуть цель "диск с — на колышек 3", а затем — все остальные.

Но первая цель не может быть достигнута сразу, так как в начальной ситуации диск с двигать нельзя. Следовательно, сначала мы должны подготовить этот ход, и наша стратегия принимает такой вид

(1) Обеспечить возможность перемещения диска с с 1 на 3.

(2) Переложить с с 1 на 3.

(3) Достигнуть остальные цели (а на 3 и b на 3).

Переложить c с 1 на 3 возможно только в том случае, если диск а и b оба надеты на колышек 2. Таким образом наша исходная задача перемещения аb и с с 1 на 3 сводится к следующим трем подзадачам:

Для того, чтобы переложить ab и с с 1 на 3, необходимо

(1) переложить а и b с 1 на 2, и

(2) переложить с с 1 на 3, и

(3) переложить а и b с 2 на 3.

Задача 2 тривиальна (она решается за один шаг). Остальные две подзадачи можно решать независимо от задачи 2, так как диски а и b можно двигать, не обращая внимание на положение диска с. Для решения задач 1 и 3 можно применить тот же самый принцип разбиения (на этот раз диск b будет самым "трудным"). В соответствии с этим принципом задача 1 сводится к трем тривиальным подзадачам:

Для того, чтобы переложить а и b с 1 на 2, необходимо:

(1) переложить а с 1 на 3, и

(2) переложить b с 1 на 2, и

(3) переложить а с 3 на 2.

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

Похожие главы из других книг:

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБУЧЕНИЯ ПРОГРАММИРОВАНИЮ

Из книги автора

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОБУЧЕНИЯ ПРОГРАММИРОВАНИЮ Итак, мы хотим учить детей законам программирования. Еще не зная их, мы понимаем, что они неизбежно будут выражены в сумме некоторых достаточно специфических приемов. Нам еще предстоит разбираться, в какой мере они посильны детям,


10.6. Задача производителей и потребителей

Из книги автора

10.6. Задача производителей и потребителей В разделе 7.3 мы описали суть задачи производителей и потребителей и привели несколько возможных ее решений, в которых несколько потоков-производителей заполняли массив, который обрабатывался одним потоком-потребителем.1. В нашем


5. Один объект — одна задача

Из книги автора

5. Один объект — одна задача РезюмеКонцентрируйтесь одновременно только на одной проблеме. Каждый объект (переменная, класс, функция, пространство имен, модуль, библиотека) должны решать одну точно поставленную задачу. С ростом объектов, естественно, увеличивается


ТИПОВАЯ ЗАДАЧА: ИНВЕНТАРИЗАЦИЯ КНИГ

Из книги автора

ТИПОВАЯ ЗАДАЧА: ИНВЕНТАРИЗАЦИЯ КНИГ      Гвен Гленн хочет напечатать опись своих книг. Она хотела бы занести в нее различную информацию о каждой книге: ее название, фамилию автора, издательство, год издания, число страниц, тираж и цену. Теперь некоторые из этих элементов,


Совет 24 Великолепная задача на сегодня

Из книги автора

Совет 24 Великолепная задача на сегодня Хорошо сделать свою работу и получить за это высокую оценку приятно. Интуитивно большинство из нас это понимает, но когда дело доходит до реального приложения усилий, позволяющего выделиться, мы демонстрируем удивительную


4.5. Задача о восьми ферзях

Из книги автора

4.5. Задача о восьми ферзях Эта задача состоит в отыскании такой расстановки восьми ферзей на пустой шахматной доске, в которой ни один из ферзей не находится под боем другого. Решение мы запрограммируем в виде унарного отношения:решение( Поз)которое истинно тогда и только


5.2.4. Задача классификации объектов

Из книги автора

5.2.4. Задача классификации объектов Предположим, что у нас есть база данных, содержащая результаты теннисных партий, сыгранных членами некоторого клуба. Подбор пар противников для каждой партия не подчинялся какой-либо системе, просто каждый игрок встречался с


ТЕМА НОМЕРА: Задача с ограничениями

Из книги автора

ТЕМА НОМЕРА: Задача с ограничениями Автор: Леонид Левкович-МаслюкВ этом номере мы заканчиваем тему «Наблюдатели в Альпах», начатую в «КТ» #686 и посвященную «мягкому и жесткому контролю при мониторинге информационных сетей». Напомним, что фраза в кавычках воспроизводит


Задача предложения rescue

Из книги автора

Задача предложения rescue Последний комментарий позволяет нам продвинуться в лучшем понимании механизма исключений, обосновав теоретическую роль предложения rescue. Формальные рассуждения помогут получить полную