Альтернативы частичным функциям

Альтернативы частичным функциям

Один из технических приемов, используемый в этой лекции, мог вызвать удивление, - применение частичных функций. Он связан с неустранимой проблемой применения в некоторой спецификации не всюду определенных операций. Но являются ли частичные функции лучшим решением этой проблемы?

Конечно, это не единственно возможное решение. Другим способом, который приходит на ум и действительно используется в некоторых работах по АТД, является превращение частичной функции во всюду определенную за счет введения специального значения "ошибка" для случаев применения функции к неподходящим аргументам.

Каждый тип T дополняется значением "ошибка". Обозначим его через w_T . Тогда для всякой функции f сигнатура

f: ... Типы входов ... T

определяет, что всякое применение f к объекту, для которого соответствующее вычисление не может быть выполнено, выдаст значение w_T.

Хотя этот метод и используется, он приводит к математическим и практическим неудобствам. Проблема в том, что такие специальные значения являются весьма эксцентричными существами, которые могут чрезвычайно осложнить жизнь невинных математических существ.

Предположим, например, что рассматриваются стеки целых чисел - экземпляры типа STACK [INTEGER], где INTEGER - это АТД, экземпляры которого - целые числа. Хотя для нашего примера не требуется полностью выписывать спецификацию INTEGER, этот АТД должен моделировать основные операции (сложение, вычитание, "меньше чем" и т. п.), определенные на математическом множестве целых чисел. Аксиомы этого АТД должны выражать обычные свойства целых чисел. Вот одно из таких типичных свойств: для всякого целого n:

[Z1]

n + 1 n

Пусть теперь n будет результатом запроса верхнего элемента пустого стека, т. е. значением выражения item (new), где new - это пустой стек целых чисел. При этом запросе n должно получить специальное значение w_INTEGER . Что же тогда должно быть значением выражения n+1? Если у нас в распоряжении имеются в качестве значений только обычные целые числа и w_INTEGER , то в качестве ответа мы вынуждены выбрать w_INTEGER:

wINTEGER + 1 = wINTEGER.

Это единственный допустимый выбор. Если присвоить w_INTEGER+1 любое другое значение, "нормальное" число q, то это означает, что после попытки доступа к вершине пустого стека и получения в качестве результата ошибочного значения мы можем волшебным образом устранить всякую память об этой ошибке, просто прибавив к результату единицу!

Но, при выборе w_INTEGER в качестве значения n + 1 при n равном w_INTEGER, нарушается указанное выше свойство Z1. В общем случае, выражение w_INTEGER+p будет равно w_INTEGER для любого p. Это означает, что для измененного типа данных (INTEGER, дополненные ошибочным элементом) требуется новая система аксиом, объясняющая, что всякая операция над целыми числами возвращает значение w_INTEGER, если хоть один из ее аргументов равен w_INTEGER. Аналогичные изменения потребуются для каждого типа.

Получившееся усложнение не кажется обоснованным. Мы не можем изменять спецификацию целых чисел только для того, чтобы промоделировать каждую отдельную структуру данных (в нашем случае - стеки). При использовании частичных функций ситуация более простая. Конечно, для всякого выражения, содержащего частичные функции, приходится проверять, что их аргументы удовлетворяют соответствующим предусловиям. После завершения такой проверки, можно беспрепятственно применять аксиомы. При этом не требуется изменять существующие системы аксиом.