Ещё немного примеров использования map и filter

Давайте найдём наибольшее число меньше 100 000, которое делится на число 3829 без остатка. Для этого отфильтруем множество возможных вариантов, в которых, как мы знаем, есть решение.

largestDivisible :: Integer

largestDivisible = head (filter p [100000,99999..])

  where p x = x `mod` 3829 == 0

Для начала мы создали список всех чисел меньших 100 000 в порядке убывания. Затем отфильтровали список с помощью предиката. Поскольку числа отсортированы в убывающем порядке, наибольшее из них, удовлетворяющее предикату, будет первым элементом отфильтрованного списка. Нам даже не нужно использовать конечный список для нашего базового множества. Снова «лень в действии»! Поскольку мы используем только «голову» списка, нам неважно, конечен полученный список или бесконечен. Вычисления прекращаются, как только находится первое подходящее решение.

Теперь мы собираемся найти сумму всех нечётных квадратов меньших 10 000. Но для начала познакомимся с функцией takeWhile: она пригодится в нашем решении. Она принимает предикат и список, а затем начинает обход списка с его «головы», возвращая те его элементы, которые удовлетворяют предикату. Как только найден элемент, не удовлетворяющий предикату, обход останавливается. Если бы мы хотели получить первое слово строки "слоны умеют веселиться", мы могли бы сделать такой вызов: takeWhile (/=' ') "слоны умеют веселиться", и функция вернула бы "слоны".

Итак, в первую очередь начнём применять функцию (^2) к бесконечному списку [1..]. Затем отфильтруем список, чтобы в нём были только нечётные элементы. Далее возьмём из него значения, меньшие 10000. И, наконец, получим сумму элементов этого списка. Нам даже не нужно задавать для этого функцию – достаточно будет одной строки в GHCi:

ghci> sum (takeWhile (<10000) (filter odd (map (^2) [1..])))

166650

Потрясающе! Мы начали с некоторых начальных данных (бесконечный список натуральных чисел) и затем применяли к ним функцию, фильтровали, прореживали до тех пор, пока список не удовлетворил нашим запросам, а затем просуммировали его. Можно было бы воспользоваться генераторами списков для той же цели:

ghci> sum (takeWhile (<10000) [m | m <– [n^2 | n <– [1..]], odd m])

166650

В следующей задаче мы будем иметь дело с рядами Коллатца. Берём натуральное число. Если это число чётное, делим его на два. Если нечётное – умножаем его на 3 и прибавляем единицу. Берём получившееся значение и снова повторяем всю процедуру, получаем новое число, и т. д. В сущности, у нас получается цепочка чисел. С какого бы значения мы ни начали, цепочка заканчивается на единице. Если бы начальным значением было 13, мы бы получили такую последовательность: 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Всё по вышеприведённой схеме: 13 ? 3 + 1 равняется 40; 40, разделённое на 2, равно 20, и т. д. Как мы видим, цепочка имеет 10 элементов.

Теперь требуется выяснить: если взять все стартовые числа от 1 до 100, как много цепочек имеют длину больше 15? Для начала напишем функцию, которая создаёт цепочку:

chain :: Integer -> [Integer]

chain 1 = [1]

chain n

    | even n = n:chain (n `div` 2)

    | odd n  = n:chain (n*3 + 1)

Так как цепочка заканчивается на единице, это базовый случай. Получилась довольно-таки стандартная рекурсивная функция.

ghci> chain 10

[10,5,16,8,4,2,1]

ghci> chain 1

[1]

ghci> chain 30

[30,15,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1]

Так! Вроде бы работает правильно. Ну а теперь функция, которая ответит на наш вопрос:

numLongChains :: Int

numLongChains = length (filter isLong (map chain [1..100]))

  where isLong xs = length xs > 15

Мы применяем функцию chain к списку [1..100], чтобы получить список цепочек; цепочки также являются списками. Затем фильтруем их с помощью предиката, который проверяет длину цепочки. После фильтрации смотрим, как много цепочек осталось в результирующем списке.

ПРИМЕЧАНИЕ. Эта функция имеет тип numLongChains :: Int, потому что length возвращает значение типа Int вместо экземпляра класса Num – так уж сложилось исторически. Если мы хотим вернуть более общий тип, имеющий экземпляр класса Num, нам надо применить функцию fromIntegral к результату, возвращённому функцией length.