Непредсказуемые числовые последовательности
Непредсказуемые числовые последовательности
Редко бывает нужно получить только одно случайное число. Чаще нужно получить много таких чисел. Большая часть игр, представленных в этой книге, требует, чтобы играющий с компьютером по ходу игры встречался, сообразно с предложенными правилами, с непредсказуемыми ситуациями. Нужно уметь порождать такие ситуации.
Поэтому нужно иметь возможность построить такую последовательность чисел, чтобы переход от одного числа к другому определялся простыми вычислительными правилами, но чтобы в то же время результат было трудно предсказать.
Может случиться, что используемый вами язык предоставляет эту возможность непосредственно в виде одной из конструкций языка.
Так, на LSE команда ALE(x) дает число, лежащее в интервале (0, 1), значение которого зависит от x, но непредвиденным образом и, кроме того, не специфицированным в языке: значение будет различным на разных машинах. Если вы трижды зададите один и тот же вопрос
? ALE (0.1)
вы каждый раз получите один и тот же ответ, но между ALE(0.1) и ALE(0.2) нет простого соотношения.
На Бейсике функция RND играет ту же самую роль. Она порождает непредсказуемую последовательность, значения которой зависят только от начального числа — оно одно и то же для данного компьютера. Инструкция RANDOM дает случайное число и ставит его начальным элементом последовательности, что позволяет порождать различные последовательности.
Может быть, интересно посмотреть, как можно строить подобные последовательности. Вот метод, предложенный А. Энгелем [ENG]. Если x — число между 0 и 1, то следующий за x элемент последовательности есть
дробная часть ((x + 3.14159)8)
Конечно, восьмая степень вычисляется тремя последовательными возведениями в квадрат! Она дает число между 9488 (для x = 0) и 86564. Очень небольшое изменение x вызывает сильное изменение (x + ?)8, и, в частности, оно может перейти через ближайшее целое, так что новое значение (дробная часть результата) может оказаться меньше предыдущей.
Возьмем, например, x = 0.52000; тогда
(x + 3.14159)8 = 32311.5437
так что за 0.5200 следует 0.5437.
Но для x = 0.52005 имеем
(x + 3.14159)8 = 32315.0736
и за 0.52005 следует 0.0736.
Так как мы берем дробную часть, то полученное число, разумеется, лежит между 0 и 1.
Упражнение 1. Поведение последовательности.
Речь идет о том, чтобы увидеть, как ведут себя числовые последовательности, порожденные таким образом. Для этого вычислим большое число членов последовательности, порожденной своим первым элементом. Поместим каждый из этих членов в один из 50 интервалов длины 0.02, составляющих интервал от 0 до 1. Выведем число членов последовательности, попавших в каждый из этих интервалов. Если числа из последовательности равномерно распределены в интервале (0, 1), мы должны будем обнаружить, что их количество в разных интервалах имеет ощутимую тенденцию к постоянству.
Составьте программу для проверки зтого утверждения. Начальное значение может, например, вводиться в начале каждого вычисления.
Упражнение 2. Поиск других последовательностей.
Число ?, использованное при вычислении наших последовательностей, не обладает никаким специальным свойством, и можно спросить себя, действительно ли выбор этого числа является наилучшим возможным. Числа (x + ?)8 довольно велики, а берем мы от них только дробную часть. При этом мы отбрасываем значащие цифры целой части, и — поскольку вычисления на компьютере проводятся с фиксированным количеством значащих цифр — на дробную часть остается относительно небольшое количество цифр. Предположим, что числа представляются с помощью 24 двоичных цифр. Нужно 14 двоичных цифр, чтобы записать 9488, так как
213 = 8192 < 9488 < 214 = 16384
и 17 цифр, чтобы записать 86564, так что остается лишь от 7 до 10 двоичных цифр на дробную часть.
Используя (x + a)8 вместо (x + ?)8 с меньшим значением a, можно ожидать сохранения большего количества значащих цифр для дробной части. Но нельзя взять a слишком близко к 1, так как тогда распределение чисел в интервале (0, 1) окажется плохим. Можете ли вы объяснить, почему?
Например, почему нельзя взять a = 8?2?
Если вы сделали упражнение 1, вы располагаете программой для проверки случайных чисел. Измените ее так, чтобы она осуществляла чтение
— постоянной а,
— начального значения последовательности.
На своем микрокомпьютере я выяснил, что а = 1.226 дает достаточно хорошие результаты. Но это наблюдение может меняться от машины к машине, так как все это очень чувствительно к способу, которым осуществляются умножения; в последней двоичной цифре результата умножения есть неопределенность, существенно влияющая на рассматриваемый процесс.