Двоичный поиск

Двоичный поиск

Проще всего понять, что такое двоичный поиск, можно на примере игры в угадывание чисел. Смысл игры в том, что один игрок задумывает число внутри некоторого диапазона, например между 1 и 1000, а второй — пытается угадать это число за минимально возможное количество попыток. При каждой попытке второму игроку сообщается, является ли названное им число большим, меньшим или равным задуманному.

Прием быстрого угадывания чисел в этой игре основан на двоичной системе счисления. Чтобы угадать число между 1 и 1000, при первой попытке следует назвать 512 (29 = 512). Если нам скажут, что это число слишком велико, то задуманное число больше нуля и меньше 512, поэтому далее мы называем 256 (28= 256) — следующую меньшую степень двойки. Если же сказано, что названное число меньше задуманного, то задумано число большее 512 и для следующей попытки нужно прибавить 256 к 512 и назвать 768, и при каждой следующей попытке прибавлять следующую меньшую степень двойки. Если названное число больше задуманного, мы вычитаем эту степень двойки и прибавляем следующую меньшую степень.

Предположим, что первый игрок задумал 700. Отгадывающему следует называть такую последовательность чисел: 512, 768, 640, 704, 672, 688, 696 и, наконец, 700. При этом ему будет сообщаться, что первое число меньше, второе больше, третье меньше и т. д. На основании этой информации он будет вычислять следующее значение и, в конце концов, задуманное число будет отгадано за восемь попыток.

Если мы посмотрим на последовательность ответов первого «больше/меньше» из приведенного примера, то заметим интересную закономерность. Эта последовательность выглядит так: «меньше», «больше», «меньше», «больше», «меньше», «меньше», «меньше» и «равно». Если на место каждого ответа «больше» подставить 0, а на место каждого ответа «меньше» — 1, то мы получим двоичное число. Учитывая, что для задания любого числа между 1 и 1000 требуется 10 разрядов, можно представить 700 как 1010111100. Мы угадали это число, двигаясь слева направо и используя ответы «больше/меньше» для определения двоичной цифры в текущей позиции.

С использованием данного метода задуманное число всегда может быть найдено не более чем за 10 попыток. В нашем примере потребовалось только восемь попыток,так как число делится на 4 — степень двойки. Обратите внимание, что любое нечетное число потребует 10 попыток, по одной на разряд. Максимальное число попыток можно вычислить как логарифм 1000 по основанию 2. Иначе это значение можно определить, учитывая, что 2 = 1024. Для угадывания числа между единицей и миллионом по данному методу требуется лишь 20 или менее попыток. Приведенный пример иллюстрирует алгоритм двоичного поиска, который применяется для нахождения элемента индекса.

Структура, в которой все записи заполнены, считается сбалансированной. При поиске по сбалансированному индексу с n элементами требуется выполнить сравнение лишь для log2 n элементов. Наш пример с угадыванием чисел был сбалансированным, так как в последовательности присутствуют все числа. Но даже для сильно несбалансированных структур среднее число попыток возрастает менее чем на 10 процентов. Алгоритм двоичного поиска отлично работает для большого числа элементов, но обычно не рекомендуется, если их число меньше 50.