Этюд XII Логогриф Эйлера

Российский ученый швейцарского происхождения Леонард Эйлер (1707–1783) в самом конце своего довольно длинного письма коллеге и другу Христиану Гольдбаху (1690–1764) от 4 июля 1744 года пишет[25]: «Некоторое время назад я разработал следующий логогриф, в котором все буквы значимы и сам текст написан на латинском языке:

pxq?wlznjdvyn?tiddkqxhleebfpxdfgtlzbccfbk?odxokfnglqxn?

shejmlckzxhrfwjgfhxvzjnbgyxcdgixkoxjmlncoigdxvzflme?n

fyjqfangvnylrcxfonbfjalrkw?nbfpjoizoxqknubro?adgiaxwkcb

rbcklofrnjwng?zfhgjfcbcfvqjtxeevtbzfyjsbzh?mlnbg?sqjwgln

xvzfkonbcoigdxvrkfjalzxt?nilenfgvcboofcfxnnfgnkbcjnnjyn

xvplgnbfzfoxeejdgxbcjcn?dyvdbhzlnvyxmbcblobbcyfekonbc

eiobfplwsxzxfjcndbhrlzqxs?onbcoljf?yqfmjeevhleexoiexmgicf

dnktvoldxnfbxo?cktvpxrnv.

Несмотря на то что значение символов здесь не меняется (то есть постоянно во всей криптограмме. – И. Е.), как мне кажется, такого рода письмена невозможно так уж легко дешифровать».

Логогриф дословно обозначает словесную головоломку (греч. ????? – слово и ?????? – головоломка, трудный вопрос, загадка). По сути, здесь речь идет о криптограмме.

Неизвестно, нашел ли Гольдбах решение или же Эйлер позднее рассказал о нем. Но несомненно, что Гольдбах вполне мог разгадать эту криптограмму. Ведь в Коллегии иностранных дел России он успешно занимался шифровальным делом{28}.

В 1727 году Эйлер, которому было тогда 20 лет, приехал жить и работать в Россию, где провел в общей сложности почти половину своей жизни. Через год он уже бегло разговаривал по-русски, а позже научился и писать. В том же году Л. Эйлер (уроженец г. Базеля, Швейцария) познакомился с Х. Гольдбахом (уроженец Кенигсберга, Восточная Пруссия), который к тому времени уже два года работал в Петербургской академии наук. Вскоре между ними завязалась научная переписка, переросшая в дружбу{29}.

В 1736 году Эйлер разгадал знаменитую загадку кенигсберских мостов. Вероятно именно его друг, урожденный кенигсбержец Гольдбах, рассказал ему о забаве местных жителей: некоторые из них забавы ради – а кое-кто и всерьез! – пытались, прогуливаясь, обойти все семь центральных мостов города, не проходя ни по одному из них более одного раза[26].

Неудивительно, что Эйлер, зная о работе друга по дешифровке дипломатической корреспонденции, послал ему свой шифр для оценки. Впрочем, высказывается мнение, что «ни в одном из писем из переписки Эйлера и Гольдбаха нет и намека на какие-либо аспекты криптографической деятельности. Это свидетельствует о том, что Гольдбах тщательно сохранял в тайне свою работу на особливой должности в Коллегии иностранных дел»{30}.

В 1741 году Эйлер вынужденно уезжает из России. Письмо с логогрифом датируется 1744 годом и, следовательно, приходится на прусский период (1741–1766) в жизни ученого, после которого он уже окончательно вернулся в Россию. В бумагах Петербургской академии наук про увольнение Эйлера сказано: «…здоровье его в таком плохом состоянии, что он находится в опасности потерять зрение ‹…› оказанным ему снисхождением при отставке он будет более побужден, когда поправится его здоровье и при большем спокойствии духа, к возвращению из Германии и служению Академии с большей пользою, чем теперь»{31}. Во время Семилетней войны (1756–1763) Эйлеру, находившемуся на службе у прусского короля Фридриха II, приходилось заниматься «расшифровкой русских каракулей» и переводом перехваченных русских армейских донесений и офицерских писем. «Кропотливый бисерный почерк Эйлера ‹…› до сих пор помогает понять выцветшие чернила писем…»{32},[27].

В это самое время Россия воевала вместе с другими странами против Пруссии и ее союзников и сумела в октябре 1760 года захватить Берлин. Усадьба Эйлера в берлинском предместье была полностью разрушена. Узнав об этом, русский генерал-фельдмаршал П. С. Салтыков немедленно возмещает ученому ущерб с лихвой (по другим сведениям, это сделал непосредственный покоритель Берлина генерал-майор русской армии, граф Г. К. Г. фон Тотлебен) [[28],[29] ]; позднее императрица Елизавета Петровна добавляет от себя еще 4000 рублей[30] (для сравнения, Эйлер, живя в Берлине, в качестве почетного члена российской Академии, получал из Санкт-Петербурга оклад 200 рублей в год вплоть до начала 1760-х годов). В 1762 году он даже просит прислать ему через Штеттин три центнера «русского масла», центнер «хорошего белого меда», «несколько пудов вологодских свечей» и т. д. Все эти детали говорят нам об особом характере взаимоотношений ученого с Россией; он старается не прерывать контактов со своей новой родиной даже в военные годы{33}.

Окончательно в Россию Эйлера вернула мудрость великой российской самодержицы Екатерины II. В письме своему канцлеру графу М. И. Воронцову она пишет: «Я уверена, что моя Академия возродится из пепла от такого важного приобретения, и заранее поздравляю себя с тем, что возвратила России великого человека»{34}.

В июле 1766 года Эйлер уже навсегда вернулся в Россию.

В 1907 году, когда отмечалось двухсотлетие со дня рождения Л. Эйлера, математик Фердинанд Рудио, будучи президентом Эйлеровского комитета в Базеле, объявил о состязании и назначил награду за решение приведенного выше логогрифа{35}. Как видим, прошло 163 года со дня написания письма, а криптограмма все еще надежно хранила свою тайну. Увы, пришлось повторно объявлять награду за разгадку этой головоломки в 1953 году. Вскоре элегантное решение было найдено Пьером Специали{36}.

Прежде чем давать читателю подсказки и облегчить ему тем самым последующую самостоятельную работу, проследим немного за мыслью Специали (используя для этого его публикацию).

Каким же образом ему удалось разрешить эту криптограмму через двести с небольшим лет после ее создания?

В своем письме Эйлер сразу дает нам три ценные подсказки:

• текст на латинском языке;

• каждый символ (знак) сохраняет один и тот же смысл во всем сообщении;

• все символы имеют значение (то есть нет символов-пустышек).

Определимся с терминологией. Назовем частотой число, показывающее, сколько раз символ встречается в тексте; относительная частота подсчитывает то же самое, но в процентном выражении.

Расставим буквы латинского алфавита[31] согласно порядку убывания их относительных частот в латинском языке:[32]

Табл. 1. Относительная частота букв латинского алфавита в произвольном тексте, %

Естественно, если взять разные тексты, то возможны незначительные вариации этих цифр. Так, было исследовано литературное наследие Гая Юлия Цезаря (на основе 52 тысяч слов), и порядок букв там немного другой[33]:

E I T U A S R N O M C P L D Q B G V F H X Y K Z.

Как видим, самая редкая буква латинского языка – k, она используется лишь в нескольких словах, например, kalendae (календы). Это связано с тем, что звук «к» в основном передавался буквами c и q.

Если бы Эйлер предупредил нас, например, что это отрывок из сочинений Цезаря, то мы бы попытались поискать в криптограмме слова, которые часто употребляли тогдашние военные: bellum (война), gallus (галл), hostis (враг), pugnare (борьба), scorpione (маленькая катапульта, стреляющая железными дротиками) и т. п. Решение головоломки значительно упростилось бы. Конечно, тогда бы при дешифровке мы пользовались не табл. 1, а порядком букв в сочинениях Цезаря.

А если, например, мы бы точно знали, что перед нами текст латинской мессы (службы) римско-католического богослужения, то все бы радикально изменилось. Нам бы не составило труда узнать, что первые слова этой службы – Kyrie eleison («Господи, помилуй»), и дело бы сразу сдвинулось с мертвой точки.

Интересно отметить, что здесь частотный ряд букв сильно изменился бы (начальные слова службы многократно повторяются), так как слово «Господи» начинается с самых редких букв латыни k и y. Это связано с тем, что данные слова заимствованы из греческого языка (????? ???????).

Но ученый был достаточно осторожен, чтобы не облегчать таким образом решение задачи, и ни словом не намекнул на содержание зашифрованного текста.

Cделаем статистический анализ символов логогрифа (в дальнейшем будем использовать строчные буквы для шифра и прописные для латинского алфавита), в котором содержится 408 знаков.

Табл. 2. Статистический анализ символов логогрифа Эйлера в порядке убывания их частот

Первое наблюдение, которое сделал Специали: загадка содержит 26 букв современного английского алфавита и знак ? (вытянутая буква s). Но классический латинский алфавит имеет только 23 буквы. Пять наиболее частых I, E, A, U, T – это примерно половина (48,17 %) любого латинского текста. В нашей криптограмме, в которой 408 знаков, каждая из этих букв должна появиться примерно по 40 раз. Самый частый у нас символ n, но и он встречается «всего лишь» 34 раза. По-видимому, это означает, что Эйлер использовал по крайней мере два представления (называемых омофонами) для самых частых букв. Изменяя таким образом частоты, ученый пытался сделать логогриф неуязвимым для частотного анализа. Как видим, Эйлер кое-что знал о простейших шифрах и методах их взлома. Логогриф Эйлера относится к шифрам многозначной замены (его также можно классифицировать с некоторыми оговорками и как омофонический шифр).

В случае омофонического шифра криптоаналитику следует попытаться получить максимум информации из сдвоенных символов (то есть один и тот же знак пишется в тексте два раза подряд) и отследить группы символов, их содержащие.

Разобьем логогриф на десятки символов для удобства исследования:

0: pxq?w lznjd

1: vyn?t iddkq

2: xhlee bfpxd

3: fgtlz bccfb

4: k?odx okfng

5: lqxn? shejm

6: lckzx hrfwj

7: gfhxv zjnbg

8: yxcdg ixkox

9: jmlnc oigdx

10: vzflm e?nfy

11: jqfan gvnyl

12: rcxfo nbfja

13: lrkw? nbfpj

14: oizox qknub

15: ro?ad giaxw

16: kcbrb cklof

17: rnjwn g?zfh

18: gjfcb cfvqj

19: txeev tbzfy

20: jsbzh ?mlnb

21: g?sqj wglnx

22: vzfko nbcoi

23: gdxvr kfjal

24: zxt?n ilenf

25: gvcbo ofcfx

26: nnfgn kbcjn

27: njynx vplgn

28: bfzfo xeejd

29: gxbcj cn?dy

30: vdbhz lnvyx

31: mbcbl obbcy

32: fekon bceio

33: bfplw sxzxf

34: jcndb hrlzq

35: xs?on bcolj

36: f?yqf mjeev

37: hleex oiexm

38: gicfd nktvo

39: ldxnf bxo?c

40: ktvpx rnv

Сдвоенные символы позволяют различать гласные и согласные буквы. Вот они в порядке их следования в криптограмме (сдвоенные символы являются «каркасом» целой группы символов): iddk (с 16-й позиции в логогрифе; далее кратко будем писать просто 16), leeb (23), bccf (36), xeev (192), boof (254), xnnf (260), jnnj (269), xeej (286), obbc (316), jeev (367) и leex (372). Скорее всего, символы по краям каркаса представляют гласные, а именно: i, k, l, f, x, j, v. Внимательнее приглядимся к трем не перечисленным выше, но также «крайним» символам b, о, и с, которые одновременно являются и каркасными. Исключение из них составляет только b. Обратим на него внимание в группе obbc. Но ведь и о, и с образуют в следующих группах bccf, boof каркас, и здесь мы видим b также крайним символом; поэтому, думается, нет никакого риска в предположении, что символ b обозначает гласный звук. Остальные знаки, скорее всего, обозначают согласные: d, e, c, o, n.

Особый интерес представляет символ е. Он появляется целых пять раз сдвоенным (24, 193, 287, 368, 373) и шесть раз одиночным (58, 106, 248, 322, 328, 378). Буква, сама по себе достаточно редкая, однако часто удваиваемая в латыни, – это l (например, в словах aucella (птичка), bellum (война), cellа (каморка), mantellum (покрывало), nullum (ничто) и т. д.); можно просто взглянуть на любой латинский текст, чтобы убедиться в этом. Итак, сделаем предположение, что e – это буква L.

В криптограмме есть повторы, состоящие из двух, трех и более символов. Они соответствуют биграммам, триграммам (устойчивые сочетания из двух, трех букв в языке; например, в русском языке суффиксы -ск-, – чик-) или часто употребляются в речи (он, она, что, для). Обычно это маленькие слова, предлоги и т. п.; например, в латыни это in (в), ab (от), cum (с), а также окончания um, us. Все это может оказаться полезным. Но в то же время эти слова будет трудно обнаружить в шифрованном тексте, если только вы не обладаете какой-либо дополнительной информацией.

Обратите внимание на две довольно красивые последовательности: fjalrkw?n (128) и fjalzxt?n (237). Выше мы уже сделали вывод, что k и х являются гласными. Если они представляют один и тот же гласный (благодаря двум почти одинаковым девятеричным последовательностям эта гипотеза не лишена оснований с точки зрения статистики), то эти символы – два «костюма» одной и той же пока не известной гласной буквы открытого (обычного, нешифрованного) алфавита. Тогда очевидно, что и символы r и z соответствуют одной и той же букве; то же самое можно сказать и о символах w и t.

Группа из семи символов coigdxv повторяется дважды (95 и 228). Возможно, что это целое слово или его часть; повтор семи знаков в тексте криптограммы явно неслучаен. Предоставим читателю небольшую дополнительную информацию, которую Эйлер благоразумно решил скрыть от Гольдбаха. Как было сказано выше, перед нами текст, принадлежащий перу Цезаря. А данное слово (без одной буквы) обозначает оружие той эпохи, и полководец в дешифруемом нами отрывке описывает свои военные успехи в Галлии.

Мы сумели различить согласные и гласные. Опыт показывает, что в подобного рода шифрах легче идентифицировать согласные, чем гласные. Действительно, латинский текст, как правило, состоит из большего количества согласных, чем гласных. Гласных всего шесть (A, E, I, O, U, Y; причем последняя буква встречается только в словах, заимствованных из греческого). В качестве первой серьезной подсказки отметим, что гласной Y в логогрифе нет, так же как нет и других редких букв K и Z. Гласные, которые присутствуют в криптограмме, не так уж и сильно отличаются по частоте друг от друга; особенно если учесть, что, вероятнее всего, именно для них Эйлер ввел по два или более символа на замену[34]. Среди согласных, напротив, есть как редкие и даже очень редкие, так и частые буквы. Но если вы просто начнете искать их методом перебора, то, рискнем предположить, ваше терпение быстро лопнет. Возьмем, к примеру, несколько наиболее частых в латыни согласных: T (относительная частота 8,00 %), S (7,60 %), R (6,67 %) и N (6,28 %). Предположим, что им соответствуют (в любом порядке) следующие символы в логогрифе: n (8,33 %), c (5,64 %), o (5,39 %), g (4,41 %). Для начала заменим n на T, c на S, o на R, g на N и проверим нашу догадку. Если ничего не получится, то придется проверять, например, гипотезу, что n – это R, c – N, o – S, а g – T. Скорее всего, потребуется перебрать все возможные варианты замен символов. Это связано с тем, что логогриф содержит небольшое количество знаков и трудно надеяться, что относительные частоты символов выстроятся по ранжиру и совпадут с относительными частотами букв. Гораздо вероятнее, что они с различными отклонениями будут варьироваться вокруг соответствующих им теоретических частот. А так как вышеприведенные частоты символов n, c, o и g мало отличаются друг от друга, то и неудивительно, что, например, может оказаться, что буквой S (7,60 %) будет не символ c (5,64 %), а его сосед по относительной частоте o (5,39 %). Впрочем, не исключено, что мы частично (а может быть, и полностью) не угадали замену символов. В качестве третьей подсказки сообщим читателю, что выше мы все-таки правильно угадали три из четырех замен букв символами. Какие? Пусть окончательное решение останется за вами. Конечно, для проверки этой гипотезы потребуется немало времени – или же толика удачи.

Рассмотрим вместе с читателем работу данного метода на следующем примере.

В логогрифе есть сочетание букв nco (94, эта группа частично входит в первое появление coigdxv); выше мы уже предположили, что это наиболее частые согласные. Из них можно составить всевозможные триграммы TSR, TSN, TRS, TRN, TNS, TNR, STR, STN, SRT и т. д. (всего существует 64 подобные трехбуквенные группы), которые могут находиться в любой части слова. Триграмма STR кажется перспективной. Например, она встречается в таких латинских словах, как astrum (звезда), strix (сова ушастая, сипуха) и других. Увы, изучив более подробно эту гипотезу (как и все другие случаи), никаких достоверных выводов сделать не удастся. Возможно, потому что эти три буквы распределились среди не одного, а двух слов? Нет, дело в другом: ни одна из триграмм вообще не является верной дешифровкой символов nco (это еще одна наша, четвертая уже по счету, подсказка, данная, чтобы читатель не продолжал бесплодные попытки проверки этой гипотезы).

Поэтому, как советует Пьер Специали, лучше всего начальные усилия направить на наиболее редкие символы криптограммы. Они-то, скорее всего, и будут соответствовать наиболее редким буквам в тексте; к тому же вряд ли для редких букв были предусмотрены два или более омофона. Рассмотрим символ а, который появляется только пять раз, а именно в группах fangv (113), jalrk (129), ?adgiaxwkc (153), jalzx (238).

Давайте сначала внимательно рассмотрим в этих группах триграммы ang и adg. Воспользуемся предположением, приведенным выше: символ n обозначает либо T, либо S, либо R, либо N. Пусть это будет T; остановимся на этой букве, так как у n и T относительные частоты достаточно близки (8,41 % и 8,00 %), а у остальных букв-кандидатов она несколько ниже. Символ g (4,41 %) встречается реже (примерно в полтора раза), чем оставшиеся согласные S (7,60 %), R (6,67 %), N (6,28 %). Может быть, все эти частые согласные заменяются двумя символами? Что же теперь в свете этой информации мы можем сказать о символе а (1,23 %)? Он по встречаемости в табл. 2 третий с конца. Сравним его относительную частоту с относительными частотами последних букв в табл. 1. Возможно, это буква X (0,60 %)?[35] Тогда имеем возможные триграммы: XTS, XTR, XTN. В этом случае, в отличие от вышеприведенного, наш выбор невелик, фактически он единственен: ang = XTR, так как только эта триграмма из приведенных трех хорошо «обрамляется» по бокам гласными. Очевидно, что предшествующая гласная (символ f, занимающий верхнюю позицию в табл. 2) – это буква Е, которая стоит одной из первых в табл. 1, и тогда fang = EXTR.

Касательно adg: d (3,68 %) – более редкий символ, чем g, и к тому же сдвоенный (в группе iddk), то есть, скорее всего, он также представляет согласную. Возможно, С (3,99 %), или L (3,15 %), или P (3,03 %). Сделаем предположение, что adg = XPR.

Наиболее часто встречаемая пятерка символов в логогрифе – n, f, x, b, c. Относительно первых двух знаков мы уже сделали предположения: x и b, скорее всего, гласные, а с – согласный. Присмотримся к с (5,64 %) внимательнее. По относительной частоте этот символ близок к буквам M (5,38 %), N (6,28 %) или S (7,60 %). Замена с на M и N не дает нам обнадеживающих результатов, в то время как тандем c и S плодотворен в первом повторе группы coigdxv (95):

И кроме того, i, x, v гласные. Давайте попробуем определить значение символа x в приведенной чуть выше последовательности (154), содержащей редкий символ a целых два раза:

Помня, что у нас на букву может приходиться несколько символов, и ранее уже предположив, что символы x и k представляют одну и ту же букву, мы (разумеется, лишь те из нас, кто знает латынь) легко подберем сюда слово PROXIMIS (соседний).

Вернемся к предыдущей группе символов и посмотрим, что там теперь получится:

В криптограмме есть также группа символов nxvzf (219), для которой получаем TIvzE; сразу же приходит на ум латинское окончание TIONE. Таким образом, буква О шифруется двумя омофонами i и v. Помня об этих омофонах, которые нами только что получены, мы подтверждаем наши предыдущие догадки насчет букв T, I и E. Таким образом, в группе (95) символов остается единственный неоткрытый знак о. Очевидно, что ему соответствует достаточно редкая буква в латинском тексте, а именно С. Итак, мы разгадали первое слово SCORPIONE. Помимо ядовитого скорпиона, это слово у древних римлян обозначало и осадное оружие, небольшой стреломет. Выше мы уже намекали на смысловое значение этой комбинации символов и на то, что перед нами военный текст. Следовательно, это слово в данном контексте обозначает оружие.

Более половины символов нами уже опознано:

Напомним читателю, что в тексте нет букв K, Y и Z. Была у нас и еще одна догадка: символы j, l являются гласными буквами (A, E, I, O или U).

Чтобы окончательно разрешить головоломку Эйлера, осталось заменить в логогрифе все известные нам символы на соответствующие буквы. Получим:

В логогрифе сразу открылось семь слов (в таблице выделены жирным прописным): PER (по), PICIE (шаг, направление), IN (в), SCORPIONE («скорпион» – стреломет), PROXIMIS (сосед), ILLO (так же), NEC (и). Остальные слова теперь нетрудно подобрать, ведь вновь угаданные символы помогут при дальнейшей дешифровке. Так, из второй последовательности символов coigdxvrkf (228), уже частично дешифрованной как SCORPIOrIE, мы получаем, что символу r соответствует буква N. Таким образом, для N существуют уже два омофона: r и z. Обратим теперь внимание на группу oizoxqkn или CONCIqIT (141). Тут можно догадаться о слове CONCIDIT (зарубленный). Следовательно, символом q зашифрована буква D. Подставив теперь в текст настоящие значения q и r, мы еще более упрощаем дальнейшую дешифровку. Благодаря этим подстановкам сразу открылось слово «город» – OPPIDI (iddkqx, 16); дешифруется символ h, заменяющий букву G, в группе IhNEM (xhrfw, 65), так как IGNEM означает «огонь»; открылось слово «правый» – DEXTRO (qfangv, 112); стал понятен предлог «из» – DE (qf, 364).

Обратим особое внимание на последнее слово в логогрифе pINTO (pxrnv, 404). Возможно, что это QUINTO (лат. пятый)? Тогда символу p соответствует устойчивый диграф (двойная, двузначная буква) QU. Буква Q в латыни употребляется только в сочетании QU и произносится как «кв», причем U после Q не читается. Видимо, зная об этом, Л. Эйлер и ввел всего лишь один символ для обозначения этой двойной буквы. Впрочем, окончательную проверку данной гипотезы доверим читателю.

Так постепенно, шаг за шагом, дешифруется весь текст. Читателю осталось теперь определить значение лишь оставшейся трети символов.

Не поленитесь, дешифруйте логогриф до конца уже самостоятельно, не заглядывая в ответ, приведенный абзацем ниже. Ведь вам теперь вполне по силам выдвигать и проверять собственные гипотезы. А в качестве бонуса вас ждет разрешение одной нетривиальной проблемы. Как пишет сам Специали, это, «наверное, самый сложный момент данного шифра». Но приятность сюрприза состоит в том, что теперь вы без труда с этим справитесь и совершите уже собственное маленькое открытие.

Л. Эйлер зашифровал отрывок из книги Гая Юлия Цезаря «Галльская война» (VII книга, XXV глава, 2–4-й фрагменты):

Quidam ante portam oppidi Gallus, qui per manus sebi ac picis traditas glaebas in ignem e regione turris proiciebat, scorpione ab latere dextro traiectus exanimatusque concidit. Hunc ex proximis unus iacentem transgressus eodem illo munere fungebatur. Eadem ratione ictu scorpionis exanimato alteri successit tertius et tertio quartus, nec prius ille est a propugnatoribus vacuus relictus locus quam restincto aggere atque omni ea parte submotis hostibus finis est pugnandi factus[36].

Если вы самостоятельно дешифровали текст, то, наверное, обратили внимание, что Эйлер изменил окончание отрывка. После quam у него написано:

finie est pugnandi factus Caeear de bello Gallico libro septimo capite vic[37] as imo quinto.

Кроме того, некоторые слова криптограммы имеют немного другие окончания, чем в приведенном выше отрывке, а именно IE и UE. Но таких дифтонгов не существует в латинском языке! Выпишем все слова с такими окончаниями и с однотипными им другими неточностями, выделив подобные недочеты прописными буквами: GalluE, piciE, transiectuE, exanimatuEque, tranEgreEsus, scorpioniE, succesEit, quartuE, locuE, finiE, CaeEar. Сравнивая с оригинальным текстом Цезаря из отрывка выше, видим, что там эти слова пишутся иначе: GalluS, piciS, traiectuS (здесь у Эйлера вкралась опечатка, и он написал это слово с двумя лишними буквами: traNSiectuE), exanimatuSque, tranSgreSsus, scorpioniS, succesSit, quartuS, locuS, finiS, CaeSar (последние два слова есть только в конце логогрифа, но отсутствуют в тексте Цезаря). Это и есть тот самый сложный момент шифра; надеюсь, что вы с ним уже справились. Произошел удивительный поворот в шифре: не только некоторые буквы имеют омофоны, но и один символ f в качестве омофонов имеет целых две буквы: E и S. Впрочем, как вы уже поняли, такой «ход конем» Эйлера не привел к многочисленным ошибкам при дешифровке.

Остальные опечатки (ошибки), видимо, связаны с тем, что Эйлер воспользовался изданием книги Цезаря, в которой ошибки были изначально. Занимательна следующая смысловая опечатка; у Эйлера мы читаем seVi (твердый жир) вместо sebi (сало). Также имеются и другие помарки: glebas вмеcто glaebas, proIiciebat вместо proiciebat, traNSiectus вместо traiectus, alterO вместо alteri и слова prius ille поменяны местами.

Но в тексте логогрифа встречаются и настоящие, серьезные ошибки. Так, у Эйлера написано traditaF вместо traditas, Ax вместо ex и AFdem вместо eadem. В последних двух словах вместо S написано A. Это связано с тем, что ученый шифровал букву E, как и положено, символом f, но в почерке Эйлера знаки ? (вытянутая буква s), который обозначает букву A, и f очень похожи (фактически сливаются друг с другом). И, видимо, эта ошибка неразличимости схожих по написанию символов вкралась уже в первое печатное издание писем Эйлера{37}. Тот факт, что в первом слове вместо S (символ f) написано F (s), связан, видимо, с тем, что не только вытянутая, но и обычная, маленькая s сливается по написанию с f. В последнем из рассмотренных выше слов вместо А (соответствующий символ ?) написано F (s), что вызвано уже путаницей символов ? и s. Эйлер, наверное, и сам не предполагал, сколько опечаток может случиться из-за особенностей его почерка, а также добавления в шифр столь симпатичного, не бросающегося в глаза символа ?.

Приведем окончательные таблицы алфавита шифра.

Табл. 3. Исходный (открытый) алфавит и соответствующий ему шифр

Табл. 4. Шифр в алфавитном порядке и соответствующий ему открытый алфавит

Данный метод может показаться долгим и утомительным. Что ж, если бы мы заранее знали контекст криптограммы, то могли бы искать «вероятностное» слово в тексте, что значительно ускорило бы его дешифровку. Но мы прошли обычным путем. Хотя стоит отметить, что латынь очень трудно дешифровать, так как частота букв в ней не имеет такого большого разброса, как в большинстве современных языков.

Как это ни парадоксально, сам Цезарь (знал ли об этом Эйлер?) шифровал свои приказы, пользуясь очень простой системой: он заменял каждую букву на другую, которая отстояла от первой на три позиции в алфавите. Такой системы (теперь мы называем ее «шифр Цезаря») было достаточно, чтобы нейтрализовать знание латыни его противником, вождем галлов Верцингеториксом.

Эйлер и Гольдбах были кумовьями. Гольдбах стал крестным отцом Ивана, старшего сына Эйлера. Если Эйлер-отец и был любителем в криптографии, то его сын уже занимался шифровальным делом профессионально (как и его крестный отец). В наше время были найдены «документы, из которых следует, что ‹…› Иван Эйлер работал в секретной экспедиции Коллегии иностранных дел и составлял шифры. На некоторых из них сохранилось его имя»{38}. 22 сентября 1786 года конференц-секретарь Академии наук Иван Леонтьевич Эйлер был пожалован орденом Святого Владимира IV степени, став одним из первых российских ученых, отмеченных государственной наградой. Данный орден давался как за военные отличия, так и за гражданские заслуги.

В заключение автору хочется отметить заслуги читателя, который одолел этот столь пространный этюд и смог пробраться сквозь дебри омофонического шифра, – «невзламываемого» логогрифа, как наивно полагал великий Эйлер.