5.21. Численное вычисление определенного интеграла
5.21. Численное вычисление определенного интеграла
Я очень хорошо владею дифференциальным и интегральным исчислением…
У.С.Джильберт, «Пираты Пензанса», акт 1
Для приближенного вычисления определенного интеграла имеется проверенная временем техника. Любой студент, изучавший математический анализ, вспомнит, что она называется суммой Римана.
Приведенный ниже метод integrate принимает начальное и конечное значения зависимой переменной, а также приращение. Четвертый параметр (который на самом деле параметром не является) — это блок. В блоке должно вычисляться значение функции от переданной в него зависимой переменной (здесь слово «переменная» употребляется в математическом, а не программистском смысле). Необязательно отдельно определять функцию, которая вызывается в блоке, но для ясности мы это сделаем.
def integrate(x0, x1, dx=(x1-x0)/1000.0)
x = x0
sum = 0
loop do
y = yield(x)
sum += dx * y
x += dx
break if x > x1
end
sum
end
def f(x)
x**2
end
z = integrate(0.0,5.0) {|x| f(x) }
puts z, " " # 41.7291875
Здесь мы опираемся на тот факт, что блок возвращает значение, которое может быть получено с помощью yield. Кроме того, сделаны некоторые допущения. Во-первых, мы предполагаем, что x0 меньше x1 (в противном случае получится бесконечный цикл). Читатель сам легко устранит подобные огрехи. Во-вторых, мы считаем, что функцию можно вычислить в любой точке заданной области. Если это не так, мы получим хаотическое поведение. (Впрочем, подобные функции все равно, как правило, не интегрируемы — по крайней мере, на указанном интервале. В качестве примера возьмите функцию f(x)=x/(x-3) в точке x=3.)
Призвав на помощь полузабытые знания об интегральном исчислении, мы могли бы вычислить, что в данном случае результат равен примерно 41.666 (5 в кубе, поделенное на 3). Почему же ответ не так точен, как хотелось бы? Из-за выбранного размера приращения; чем меньше величина dx, тем точнее результат (ценой увеличения времени вычисления).
Напоследок отметим, что подобная методика более полезна для действительно сложных функций, а не таких простых, как f(x) = x**2.
Данный текст является ознакомительным фрагментом.