7. Обо всем понемногу

7. Обо всем понемногу

Головоломка 29.

Эта задача также не должна была бы излагаться ошибающимися людьми. Я пытался понять, где эти программисты оступаются. Я считаю, что есть две опасности:

— прежде всего нет никакой уверенности в том, что поступающее число удастся эффективно разместить между двумя числами таблицы. Оно может оказаться перед первым элементом и после последнего элемента. Так как эта возможность влечет появление некоторых особенностей, то наши программисты начинают с изучения этих случаев, что совершенно ненужно;

— далее поиск должен происходить с помощью разделения каждый раз таблицы на две части. Сравниваем x со средним элементом. Если он больше, то нужно искать его место в верхней полутаблице. В противном случае он — в нижней половине. Но средний элемент — это элемент с индексом k = (1 + n)/2 или, в наиболее общем случае, где рассматривается кусок таблицы, начинающийся в p и кончающийся в q, — элемент с индексом (p + q)/2. Конечно, рассматривается только целая часть дроби. По этой причине некоторые программисты опасаются, что это может заставить обращаться много раз к одному и тому же элементу, и тогда программа не остановится или может вызвать потерю элемента.

Это — пустые опасения. Возьмем как общую следующую ситуацию: пусть мы смогли найти такие два целых p и q, что

a[p] < x ? a[q], причем p < q.

Тогда все очевидным образом завершено, если q = p + 1.

В противном случае скачок между q и p не меньше 2, и так как p меньше q, то, следовательно, элемент с промежуточным номером

r = целая_часть ((p + q)/2)

обязательно отличается от элементов с номерами p и q, и вам нечего опасаться. Вы сравниваете x с элементом с индексом r и в зависимости от результата сравнения берете r либо как новую нижнюю границу p, либо новую верхнюю границу q.

Остается одна трудность. Как выбрать p и q, чтобы так пустить в ход процесс, чтобы выполнялось общее двойное неравенство? Всегда, когда приходится выполнять обращение к таблице, представляет интерес введение дополнительных элементов, освобождающих от влияния концов таблицы. Введем элемент с индексом 0, меньший, чем любой из тех x, к которым можно обратиться (мы отложим на более поздний срок решение вопроса, как мы можем сделать это эффективно), и элемент с номером n + 1, больший, чем все возможные x. Тогда x обязательно больше, чем a[0], и меньше, чем a[n + 1].

Тогда мы можем начать с p = 0 и q = n + 1. Напишите соответствующую программу, вовсе не заботясь заранее о значениях a[0] и a[n + 1] и оставляя в неопределенном положении задачу эффективного описания таблицы (некоторые языки, такие как Фортран или LSE, не допускают индекса ноль — один только бог знает почему…). Покажите, что единственный индекс, для которого фактически приходится читать значение элемента таблицы, — это индекс r. Так как r всегда строго содержится в интервале (p, q), причем p не убывает, a q не возрастает, то r всегда строго больше 0 и не меньше n. Таким образом, элементы 0 и n + 1 никогда не опрашиваются. Поэтому и нет необходимости их материализовывать. Объявите массив (таблицу) с индексом, пробегающим от 1 до n, и все пройдет без сучка и задоринки…

Головоломка 30.

Это — задача, на которой я заваливаю профессионалов. Совершенно очевидно, что обе цепочки символов играют одну и ту же роль. Следовательно, в программе есть симметрия, которая касается способа обращения с этими цепочками. Вот — более или менее символически — программа, которую пишут профессионалы:

100 i = 0; j := 0.

110 продвинуть i к ближайшему символу в цепочке a, не являющемуся пробелом

120 ЕСЛИ мы вышли из a ТО ПЕРЕЙТИ К 200 КОНЕЦ_ЕСЛИ

130 продвинуть j к ближайшему символу в цепочке b, не являющемуся пробелом

140 ЕСЛИ мы вышли из b ТО ПЕРЕЙТИ К 300 КОНЕЦ_ЕСЛИ

150 ЕСЛИ a[i] = b[j] ТО ПЕРЕЙТИ К 110

160 ПЕРЕЙТИ К 800

200 продвинуть j к ближайшему символу в цепочке b, не являющемуся пробелом

210 ЕСЛИ мы вышли из b ТО ПЕРЕЙТИ К 900 КОНЕЦ_ЕСЛИ

220 ПЕРЕЙТИ К 800

300 продвинуть i к ближайшему символу в цепочке а, не являющемуся пробелом

310 ЕСЛИ мы вышли из a ТО ПЕРЕЙТИ К 900 КОНЕЦ_ЕСЛИ

800 результат := ЛОЖЬ; ПЕРЕЙТИ К 1000

900 результат := ИСТИНА

Эта программа понятна. В 150 находим два символа, не являющихся пробелами. Если они совпадают, то нужно продолжать маршрут, а если они различны, то и цепочки различны (строчка 800).

Если в 120 констатируется, что все символы цепочки а уже испытаны, причем каких-либо различий с уже изученными символами цепочки b но обнаружено, то имеется выбор одной из двух возможностей (строки 200 и 210):

— либо в цепочке b нет ни одного символа, не являющегося пробелом (что приводит к тому, что в поисках такого символа мы выходим из b), и цепочки совпадают (строчка 900), либо мы обнаруживаем в цепочке b символ, не являющийся пробелом; эта цепочка включает символы, не входящие в a, и, следовательно, результат есть ЛОЖЬ (строка 800).

То же самое происходит, когда исчерпывается цепочка b (из строчки 140 переход осуществляется к строчке 300).

Я попытаюсь сделать из этого головоломку. Еще не слишком поздно. Найдите ошибку и исправьте ее. Но вы можете составить намного лучшую программу.

Головоломка 31.

Вот несколько идей. Вы можете сначала «отсортировать» обе цепочки, переставляя символы в каждой из них, чтобы они оказались, например, в алфавитном порядке. Когда это сделано, то цепочки должны оказаться одинаковыми, Это очень тяжеловесно…

Вы можете взять первый символ первой цепочки и посмотреть, есть ли он во второй цепочке. Если ответ отрицателен, то цепочки не являются анаграммами друг друга. Если же ответ — «да», то изымите этот символ из второй цепочки и переходите ко второму символу в цепочке a. Это ведет, по вашему выбору, к рекурсивной или к итеративной процедуре, Внимание: если вы смогли полностью пробежать a и не нашли ни одного символа, не попавшего в b, проверьте, не осталось ли чего-нибудь в b…

Вы можете задать таблицу, имеющую столько же полей, сколько может быть различных символов в рассматриваемых цепочках. Если мы имеем дело с текстами и если пробелы считаются, то нужны 33 буквы и пустое место… Вы пробегаете первую цепочку и добавляете 1 в клетке, связанной с каждым встречаемым характером (вы считаете число случаев появления каждого знака), Затем вы пробегаете вторую цепочку и все пересчитываете (вычитая, а не складывая). Если в конце вы получаете таблицу, содержащую что-то кроме нулей, то цепочки не являются анаграммами.

Конечно, есть и другие способы действовать. Достоинства каждого из них зависят от обстоятельств. Для текста последний способ кажется достаточно хорошим, первый — явно плох.

Головоломка 32.

То что было только что сказано, остается приемлемым и в этой задаче. Но достоинства различных решений могут измениться. Продумайте их. Это Позволит увидеть, что одна программа никогда не бывает абсолютно лучше другой, Это зависит от данных и часто еще и от используемого компьютера…

Головоломка 33.

Есть карточный пасьянс, который более иди менее похож на эту задачу. Выберем из вектора его первый элемент и отложим его в сторону на запасное поле, Мы можем поместить на его место элемент m + 1, который и должен перейти на поле 1. Теперь поле m + 1 свободно. Туда можно перенести элемент, который должен его заполнить. Возьмем конкретный пример: n = 10 и m = 4. Элементы верхней части спускаются на 4 поля, а те, которые находятся в нижней части, поднимаются на 6 полей. Вот последовательные состояния вектора. Я не представляю здесь запасное поле, которое содержит элемент 1. Я помещаю в эти поля именно номера элементов в исходной конфигурации:

исходное положение:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

  2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 2 3 4   6 7 8 9 10

5 2 3 4 9 6 7 8   10

5 2   4 9 6 7 8 3 10

5 2 7 4 9 6   8 3 10

А теперь именно элемент 1 должен прийти на свободное поле, и этот цикл останавливается. Мы убеждаемся, что не все элементы перенесены. Все числа на нечетных местах уже находятся там, где должны находиться, а числа на четных местах не стронуты с мест. Но можно начать новый цикл той же длины, поместив 2 на запасное поле, — это завершит работу.

Предлагая эту задачу профессиональным программистам, я очень редко получал такое решение, потому что им не удавалось выяснить, что мы действительно перемещаем таким образом все элементы (в этом можно убедиться, подсчитывая число движений) и нет ли опасности дважды переместить один и тот же элемент, так что конечное состояние оказалось бы неправильным[25].

Чтобы навести себя на правильный путь, заметьте, что если верхние элементы спускаются на m полей, то нижние элементы поднимаются на n ? m полей.

Вы не видите? Есть n полей. Вы работаете в арифметике по модулю n. По модулю n все элементы спускаются на m полей. На этот раз вы должны найти решение, учитывая влияние на ход решения наибольшего общего делителя m и n…[26]

Головоломка 34.

Предположим, что мы уже проделали часть работы. Именно таким образом мы всегда должны начинать поиск решения. Мы ограничимся здесь случаем таблицы чисел, который предоставит нам полную возможность изучения различных стратегий и позволит вам записать несколько программ и сравнить их, не заставляя вас пускаться в манипуляции с более деликатными цепочками.

Следовательно, Предположим, что мы прошли таблицу до номера i включительно. Пусть в пройденной части мы нашли, что элемент со значением x повторялся p раз, и пусть это — максимальное число повторений.

Но нужно еще более уточнить ситуацию в точке остановки. У нас есть две возможности.

— Первая идея: мы останавливаемся в конце равнинного участка.

Если i = n, то мы прошли всю таблицу, узнали наилучший равнинный участок, и все закончено. В противном случае мы пробегаем следующую равнину и измеряем ее длину r. Если r ? p, то наилучшая равнина остается неизменной, а в противном случае именно последняя равнина и регистрируется заново как наилучшая, и мы возобновляем движение по таблице. Это просто, и это легко программировать. Запишите это решение, чтобы иметь возможность сравнить его с другими решениями.

— Вторая идея: мы останавливаемся в произвольной точке i. Мы оказываемся на некоторой равнине и уже нашли r элементов на этой равнине.

Если i = n , то проход таблицы завершен. Мы внаем наилучшую возможную равнину с p повторениями и равнину с r элементами на последнем проходе, Мы берем лучшую из этих двух, и все кончено.

В противном случае нужно продвинуться вперед на один элемент. Либо этот элемент равен непосредственно предшествующему элементу; мы все еще находимся на той же самой равнине, длина которой увеличивается. Либо он отличается от предыдущего; тогда оказывается пройденной равнина длины r, которую при r > p нужно зарегистрировать как наилучшую. С другой стороны, нужно сказать, что новый элемент находится на равнине, которая в данный момент имеет длину 1.

На первый взгляд, первая стратегия дает программу, содержащую два вложенных цикла: маленький внутренний цикл для прохода равнины и глобальный цикл для прохода всего вектора, равнина за равниной.

Вторая программа содержит только один цикл, пробегающий элементы вектора один за другим и в нужных местах исправляющий значение p. Следовательно, эта вторая программа лучше.

Но это не все. Не позволяйте обмануть себя видимостью. Обе эти программы пробегают вектор элемент за элементом. Если вы составляете вашу программу на Бейсике или LSE, используя операторы ПЕРЕЙТИ К, а не циклы ДЛЯ или FOR, то вы убедитесь, что эти два решения почти неотличимы, а второе решение требует двукратного написания теста, сравнивающего r и p, так что едва ли не чаще эта вторая программа оказывается хуже.

Но есть третья стратегия. Восстановим общую ситуацию: мы прошли часть вектора до номера i включительно и определили наилучшую равнину длины p с общим значением ее элементов, равным x. Точка остановки произвольна.

Известно, что нужно осуществить включение нового элемента. Поставим следующий вопрос: насколько этот новый элемент может изменить ситуацию? Ответ: если он оказывается принадлежащим равнине с длиной, большей p. Может ли он оказаться принадлежащим равнине с длиной, намного большей p? Нет, мы бы это уже заметили. Следовательно, новый элемент изменяет ситуацию, если он принадлежит равнине длины p + 1. Но такое может случиться, если он равен элементу, содержащемуся в p предыдущих полях.

В начале ничего не пройдено: i = 0, и нет ни одного повторения: p = 0.

i := 0; p := 0

ВЫПОЛНЯТЬ

  ЕСЛИ i = n ТО КОНЧЕНО

  КОНЕЦ_ЕСЛИ

  i := i + 1

  ЕСЛИ a[i] = a[i ? p] ТО x := a[i]; p := p + 1

  КОНЕЦ_ЕСЛИ

ВЕРНУТЬСЯ

Красиво, не правда ли?

Но можно сделать лучше. Тщательно рассмотрите эту программу. Вы должны суметь обнаружить, что можно перескакивать через некоторое количество элементов без обращения к ним…

Головоломка 35.

Не позволяйте себе поддаться впечатлению от ограничений на сложность алгоритма. Вы не можете выделить все возрастающие подпоследовательности, чтобы найти лучшую из них, это было бы слишком длинно, и легко сделать что-нибудь попроще этого.

Воспользуемся снова той же самой техникой. Пусть мы прошли вектор вплоть до некоторой точки. Пусть мы получили соответствующие результаты, но, поскольку мы еще не знаем, в какой форме они нужны, мы оставим их на некоторое время неопределенными. В любом случае выглядит вероятным, что мы знаем наибольшую по длине возрастающую подпоследовательность пройденной части, без которой мы как будто лишены возможности добраться до конца вектора… Как и выше, поставим вопрос: насколько изменяет ситуацию появление нового элемента? Он может продолжить известную нам наиболее длинную последовательность, если он может быть поставлен в ее конец, и, следовательно, если он больше последнего элемента этой последовательности. А если зто не так, то эту наиболее длинную подпоследовательность он изменить не может. Но он может продолжить более короткую подпоследовательность, которая постепенно может стать более длинной, если она медленнее растет.

Рассмотрим, например, последовательность

4 5 3 8 2 6 1 7

Если ограничиться тремя первыми элементами, то наиболее длинная возрастающая подпоследовательность — это

4 5

Добавим четвертый элемент, 8. Он может быть присоединен к концу этой подпоследовательности и дает возрастающую подпоследовательность длины 3:

4 5 8

Следующий элемент — 2 — ничего не меняет. Следующий — 6 — не может быть присоединен к концу последовательности длины 3, но он может быть присоединен к концу последовательности длины 2 — последовательности 4 5 — чтобы дать другую подпоследовательность длины 3:

4 5 6

Эта последовательность меньше предыдущей, поскольку ее последний элемент меньше, и поэтому у нее больше шансов иметь возможность продолжаться. На самом деле, 7 может быть присоединено к ее концу, что дает максимальную возрастающую последовательность

4 5 6 7

Мы уже видим, что нужно уточнить понятие максимальной возрастающей подпоследовательности, определяя наилучшую из них: это — такая последовательность, у которой последний элемент — наименьший возможный. В этой строке наилучшая подпоследовательность длины 1 есть элемент 1, наименьший элемент последовательности. Таким образом, мы приходим к следующей идее: предположим, что мы знаем последний элемент наилучшей подпоследовательности длины k в пройденной части для любого значения k от 1 и вплоть до максимального значения m.

Новый рассматриваемый элемент изучается с точки зрения возможности его присоединения к концу подпоследовательности длины k, чтобы превратить ее в подпоследовательность длины k + 1. Покажите, что если это возможно, то эта новая последовательность лучше, чем предыдущая подпоследовательность длины k + 1. Может случиться также, что этот новый член оказывается меньше элемента, образующего подпоследовательность длины 1. Тогда он дает лучшую, чем предыдущая, подпоследовательность длины 1.

Таким образом, вы получаете алгоритм, в котором для любого элемента рассматриваемого вектора нужно искать в таблице последние элементы наилучших подпоследовательностей, и размер этой таблицы равен m. Покажите, что эта таблица упорядочена. Осуществите в ней поиск места рассматриваемого элемента вектора с помощью дихотомического поиска[27] и вы получите алгоритм порядка n In n.

Головоломка 36.

Вы можете вдохновиться решением предыдущей задачи. Нужно пробежать одну из двух цепочек символ ea символом. Предположим, что мы ее пробежали до некоторого i включительно. Нужно осуществить регистрацию лучших из наиболее длинных слов в порядке возрастания длин, содержащихся в пройденном куске рассматриваемой цепочки и во второй цепочке в целом. Как определить наилучшее слово длины k? Скажем, что это — такое слово, которое имеет наибольшие шансы оказаться продолжаемым, следовательно, такое слово, у которого положение последнего символа во второй цепочке минимально. Это приводит к рассмотрению того, насколько важно знать положение символов во второй цепочке и, следовательно, к заданию наилучших слов списком из положений в цепочке (например, с помощью конкатенации совпадающих с ними символов во второй цепочке).

Бесспорной выглядит трудность, связанная с тем, что одна и та же буква может встречаться во второй цепочке несколько раз. Их нужно рассмотреть все, но их нельзя смешивать между собой. Я уверен, что это вас надолго не задержит.

Больше я вам ничего не сообщаю. Ищите дальше сами…

Головоломка 37.

Вы можете рассмотреть задачу самым простым способом. Пусть задан прямоугольник — координатами x₁, y₁ и x₂, y₂ верхней левой и нижней правой вершины соответственно. Мы выясняем, является ли этот прямоугольник белым (нет ли внутри черной клетки), и если да, то измеряем его площадь.

Мы проделываем это для x₁, y₁, пробегающих все игровое поле, а x₂, y₂ должны удовлетворять неравенствам x₂ ? x₁, y₂ ? y₁ и пробегать часть игрового поля, удовлетворяющую этим неравенствам.

Так как для каждого прямоугольника вы должны пробежать его по всей его площади целиком, то порядок роста программы есть n⁴. Но вы можете улучшить программу уже здесь, не рассматривая такие точки x₁, y₁, которые не могут дать площади прямоугольника, превосходящей уже найденный максимум (это — близкие к правому краю или к нижнему краю точки игрового поля).

Вы можете сделать еще лучше, задав лучшую информацию. Предположим, например, что у вас есть вектор размерности n, — скажем вектор l такой, что l[i] есть число последовательных белых полей на строке i, начиная со столбца l. Тогда вы можете легко найти площади белых прямоугольников, одна из вершин которых находится в точке x₁ = j, y₁ = i. Нисколько не более трудно перейти и от вектора l для столбца j к вектору, связанному со столбцом j + 1.

Этих указаний должно быть достаточно для того, чтобы вы сумели получить хороший алгоритм.

Головоломка 38.

Очевидно, что мы очень многого не знаем. Следовательно, нужно тщательно прочесть условие и выделить все данные. Невозможно, чтобы на каждый вопрос решительно все ученики ответили неправильно, потому что если бы это случилось, то они все получили бы 0. Следовательно, на каждый из вопросов есть правильный ответ, который либо является одним из чисел, входящих в ответы учеников, либо другим числом (и тогда более или менее все равно каким).

Таким образом, правильный ответ на первый вопрос может быть одним из чисел

8 12 16 20 и другим числом, скажем 24,

чтобы ответы образовывали арифметическую прогрессию с разностью 4. Сделаем то же самое для других вопросов. Таким образом, вы получите, например:

R1: 8 12 16 20 24

R2: 12 14 16 18

RЗ: 10 12 14

R4: 16 18 20 22 24

Исследуем все полученные из оценок четверки чисел, отводя по строчке для каждой из них. Они образуют 5*4*3*5 = 300 строк. Для каждой из них ваша программа смотрит, сколько учеников получило 0, и запоминает только те четверки чисел, для которых один и только один ученик получил 0 (это дано в условии). Заметьте к тому же, что вам сообщено, что ответом на один из вопросов должна быть площадь поверхности куба с целым ребром, следовательно, число вида 6n², возможные значения которого 6, 24… Ни один из ответов не имеет вида 6n² с целым n. Следовательно, мы должны получить, что в выделенных четверках есть одна или несколько четверок, у которых хотя бы одна компонента имеет значение, не предложенное ни одним из учеников. Ваша программа легко их найдет (такой набор в точности один). На этом основании мы узнаем правильность всех ответов на вопросы, остальное просто.

При всем том, это — головоломка для начинающих…

Головоломка 39.

Эта головоломка сопротивлялась мне много дней и была для меня очень поучительной. В условии сказано, что эта программа должна выполняться за время вычисления, пропорциональное n. Следовательно, и речи нет о том, чтобы исследовать все суммы подпоследовательностей вектора, чтобы выбрать из них наилучшую. Нужно исхитриться. Так же, как мы здесь уже упоминали, ответ может состоять в получении свойств подпоследовательности с максимальной суммой.

Я совершил ошибку, пойдя по этому пути. Я сказал себе: назовем S(i, j) сумму элементов вектора с номерами от i до j:

S(i, j) = a_i + a_i+1 + … + a_j?1 + a_j.

Если для некоторой пары i, j эта сумма максимальна, то отсюда следует

S(i, j) > S(i + 1, j)

и, следовательно, a_i > 0. Точно так же a_i + a_i+1 > 0.

Если обобщить любое «начало» (левая часть) S(i, j) положительно, и точно так же любой «конец» положителен. Можно продолжать:

a_i?1 отрицателен…

И я таким образом не получил ничего. Это не означает утверждения, что на этом пути нельзя найти решения. Это я его не нашел.

Как я уже говорил, вы можете обратиться к математике за помощью в решении вашей задачи по информатике[28]. Но у информатики есть и свой собственный творческий дух. Почему бы ему не довериться? Эта задача сбивает вас с толку по причине ограничений на сложность алгоритма. Забудем их. Если вам сказано, что нужно решить задачу, и вам предоставлена свобода вплоть до максимальной сложности, что вы будете делать? Вы составите таблицу S (i, j) для i = 1, …, n и j = i, …, n. В этой таблице вы возьмете максимальный элемент.

Чтобы помочь вам, я предлагаю вам рассмотреть следующий вектор:

3 4 ?8 2 ?3 7 5 ?6 1

Образуйте треугольную таблицу чисел S (i, j) и запишите ее. Посмотрите, как каждая строчка образуется из предыдущей. Вы увидите, что только три строчки могут содержать максимальное S и, кроме того, не во всей их полной длине. В этом примере максимум нужно искать среди

(1, 1 : 3), (4, 4 : 5), (6, 6 : 9).

Следовательно, есть в точности n значений S, которые нужно рассматривать. Таким способом вы и получаете алгоритм, линейный по n.

Закончить предоставляю вам.