Глава 4. Шифры на новой элементной базе

Глава 4. Шифры на новой элементной базе

Про шифры на новой элементной базе я уже несколько раз упоминал в этой книге, но в основном абстрактно: были заложены основы, велись теоретические разработки. А как пощупать их руками? Что в них было действительно нового?

Здесь надо немного окунуться в ту «докомпьютерную» эпоху. Что такое микропроцессор – представление об этом было весьма расплывчатое. Что-то такое, что реализовано с помощью никому тогда не ведомого процессора, но только очень маленького, размером с копеечную монету. Живьем микропроцессор мало кто видел, только общие сведения: способен выполнять некоторые операции с двоичными векторами, достаточно быстро по сравнению с типовыми логическими элементами. Один раз, еще в Высшей Школе КГБ, нам, рассказывая про микропроцессоры того времени, сказали, что их стоимость сравнима со стоимостью золота, сопоставимого по весу с микропроцессором.

Сначала, как только я пришел на работу в отдел Степанова, там загорелись идеей создать специализированный криптографический процессор, ориентированный на выполнение определенных криптографических преобразований. Что это должны быть за преобразования – тоже не было единого мнения. Преобразования для системы с открытым распределением ключей? Или для симметричного шифрования, без которого система с открытым распределением ключей теряет всю свою эффективность? В общем, начальный период создания криптографического процессора прошел в абстрактных криптографических спорах, которые были спущены на грешную землю одним простым вопросом, заданным спорщикам инженером, приглашенным из Зеленоградского завода Ангстрем, на котором предполагалось изготавливать эти процессоры:

– А какой толщины должен быть слой лакового покрытия вашего процессора?

Все криптографы сразу же выпали в полный осадок. Ответить на вопрос о толщине слоя лакового покрытия никто не смог, абстрактный криптографический процессор, рожденный в умах теоретиков, так там и остался.

Но идеи шифров, реализуемых с не с помощью какого-то надуманного криптографического микропроцессора, а с помощью начинавших появляться в то время самых обычных микропроцессоров для портативной бытовой электроники, оказались весьма живучими. Все очень просто: есть выпускаемые промышленностью микропроцессоры, выполняющие стандартные арифметические операции, их производительность невелика, но они очень дешевы. Задача криптографов - приспособить эти стандартные процессоры для выполнения криптографических преобразований. Не гора должна идти к Магомету, а Магомет к горе.

Однажды к нам в гости пожаловали ребята из НИИ Автоматики. Это был один из ведущих институтов Министерства радиоэлектронной промышленности, который занимался разработкой шифрующих устройств и в котором работало много выпускников 4 факультета. В теории 8 управление КГБ должно было выполнять только экспертные функции, разработку шифраторов должна была проводить промышленность, но в реальной жизни все тесно переплеталось, наш отдел постоянно выдавал какие-то идеи для новых схем, масса людей писала на этом диссертации, поэтому провести четкую грань между разработкой и экспертизой часто было невозможно.

Эти ребята тоже занимались разработкой шифров на новой элементной базе. Но они были практиками, для них первичным было «железо», реально существующие в то время микропроцессоры, под которые надо было придумать криптосхему, в которой все преобразования осуществляются не с традиционными битами, а сразу с байтами, 8-мерными двоичными векторами.

– Мы постарались придумать максимально простую для реализации криптосхему. Вы можете прикинуть оценки ее стойкости?

Ребята молодые, может быть старше меня года на 3 - 4. Один из них уже начальник сектора, пишет диссертацию. Эта тема – шифры на новой элементной базе – интересует многих. На 4 факультете кафедра математики подготовила два солидных отчета о проведенных исследованиях по аналогичной теме, несколько человек уже защитились. Новое, перспективное направление, что же оно из себя представляло?

Здесь я вынужден извиниться перед читателем этой книги, не имевшим ранее никаких дел с математикой. Сейчас придется немного залезть в теорию групп и теорию подстановок, со своими специфическими терминами: симметрическая группа, циклическая подстановка, свойство 2-транзитивности и т.п. Может быть неискушенный читатель пробежит эту часть «по-диагонали», не вдаваясь особо в подробности и не забивая себе в голову всех этих премудростей. Но в математике, как и в любой другой области науки, иногда удается получить красивый результат, и, чтобы оценить его красоту, надо немного вникнуть в детали, подробности, предшествующие его получению. Так что читатель, окунувшийся в начинающиеся ниже математические дебри (не такие уж и сложные, как может показаться на первый взгляд!), в конце концов будет вознагражден одной красивой «изюминкой».

Большинство традиционных электронных шифраторов реализовано с помощью «балалаек», работающих с битами. В этих «балалайках» в ячейки регистра сдвига могут быть записаны только два элемента – 0 или 1, такой регистр сдвига называется регистром сдвига над полем GF(2) - полем Галуа из двух элементов. Операции с битами тоже весьма простые: сложение и умножение по модулю 2, а также отрицание. Все методы анализа подобных «балалаек» ориентированы на двоичные операции, на операции в поле GF(2).

Если же мы вместо битов переходим к байтам, то появляется много нового. Традиционные операции с байтами можно осуществлять несколькими способами. Например, сложение и вычитание могут быть с переносом или без переноса, т.е. или это будут операции в кольце вычетов по модулю 256, или покоординатное сложение бит. Но самое интересное обобщение происходит с операцией отрицания. Отрицание (инверсия) бита – это фактически подстановка на множестве из 2 элементов. Когда всего 2 элемента, то мощность симметрической группы S₂ составляет всего 2! = 2, всего две подстановки: тривиальная единичная (ничего не меняется) и инверсия, когда 0 переходит в 1, а 1 – в 0. Мощность же симметрической группы S₂₅₆ составляет 256! – совершенно фантастическое число. Введение подстановки в регистр сдвига, работающий с байтами, а не с битами, переворачивает все привычные методы криптографического анализа. Совершенно другие операции, а следовательно, нужны и другие подходы к анализу и оценке стойкости таких схем, чем те, которые использовались в традиционных двоичных «балалайках».

С чего начала кафедра математики на 4 факультете? С самого простейшего преобразования, осуществляемого с n-мерными двоичными векторами, с преобразования типа (G?)^k, где G – группа, порожденная циклическим сдвигом (G = <g>, g =(0,1,…,2ⁿ-1)-циклическая подстановка), ? - некоторая фиксированная подстановка из S₂ⁿ, а k – некоторое целое число.

Если здесь перейти от математических терминов из теории групп к обычной криптографической терминологии, то преобразование типа (G?)^k – это следующий узел.

Преобразования типа (G?)^k - это, фактически множество подстановок вида g_x1? g_x2?… g_xk?, и задачей кафедры математики было обосновать какие-то свойства подобного множества, найти их зависимости от подстановки ?. Типичная криптографическая ситуация – когда в таком узле входное слово x₁,x₂,…x_k является ключевым параметром, требуется найти подходы к его определению по нескольким известным переходам в реализуемой подстановке.

Кафедра начала с изучения группы <g, ? >, т.е. группы, порожденной двумя подстановками: циклическим сдвигом g и фиксированной произвольной подстановкой ?. Это естественное обобщение преобразования (G?)^k, предельный случай. Свойства группы <g, ? > дают ответ на вопрос, что в принципе можно ожидать от нашего преобразования при увеличении длины k до бесконечности. Можем ли мы таким путем получить все подстановки или же есть какие-то запреты?

Оказалось, что если случайно и равновероятно выбрать из всей симметрической группы фиксированную подстановку ?, то с вероятностью, близкой к 1, группа <g, ? > будет совпадать со всей симметрической группой, т.е. запретов не будет. Те подстановки ?, для которых это не так, очень часто легко определяются, например, ?=g, а также любая линейная подстановка, реализующая преобразование вида ?(x) = ax+b, где a и b – фиксированные элементы из Z/2ⁿ.

Дальше, естественно, стали возникать вопросы: а как скоро мы сможем достичь симметрической группы? Какова будет мощность слоя (G?)^k при некотором значении k, например, при k=2 или при k=3? При каком k множество (G?)^k станет 2-транзитивным, т.е. по имеющимся в нем подстановкам любая пара (y₁,y₂), в которой y₁?y₂, сможет перейти в любую пару (z₁,z₂), в которой z₁?z₂? Что в общем случае можно будет сказать про обобщение 2-транзитивности – m-транзитивность?

За свойство 2-транзитивности взялись основательно, чувствовалось, что здесь могут быть интересные криптографические зацепки: если 2-транзитивность отсутствует, то появляются запреты переходов биграмм текста, широкое поле деятельности для криптоаналитика. Например, если ? - упомянутая выше линейная подстановка, то для любой пары (y₁,y₂) будет справедливо соотношение:

?(y₁)- ?(y₂) = (ay₁+b) - (ay₂+b) = a(y₁-y₂)

В этом случае при применении подстановки ? сохраняется соотношение между разностями знаков, а поэтому кратной транзитивности заведомо не будет.

А если ? - не линейная, а произвольная подстановка? При каком минимальном значении k множество (G?)^k может достичь свойства 2-транзитивности? Всего имеется 2ⁿ(2ⁿ-1) различных пар (z₁,z₂), в которых z₁?z₂, а количество различных подстановок в (G?)^k не превосходит (2ⁿ)^k. Следовательно, свойства 2-транзитивности можно достичь только при k?2. Можно ли при k=2?

Рассмотрим множество подстановок (G?)². Это множество реализует всевозможные преобразования произвольного значения t в значение s по формуле s = ? (? (t+x₁)+x₂) при всевозможных x₁,x₂. Если бы это множество было 2-транзитивным, то для любых заранее фиксированных s₁,s₂, t₁,t₂ , в которых s₁?s₂ и t₁?t₂, система уравнений:

s₁ = ? (? (t₁+x₁)+x₂)

s₂ = ? (? (t₂+x₁)+x₂)

имела бы решение относительно x₁,x₂, а, следовательно, поскольку ? - подстановка, то и система

s₁ = ? (t₁+x₁)+x₂ (1)

s₂ = ? (t₂+x₁)+x₂

имела бы решение для любых заранее фиксированных s₁,s₂, t₁,t₂, в которых s₁?s₂ и t₁?t₂

Отсюда, вычитая одно уравнение из другого, мы приходим к одной очень важной криптографической характеристики подстановки ? - матрице частот встречаемости разностей переходов ненулевых биграмм P(?) размера (2ⁿ-1)x(2ⁿ-1), а именно, на пересечении i-ой строки и j-го столбца в этой матрице стоит значение p_ij - число решений системы уравнений относительно x и y:

x-y = i (2)

?(x) - ?(y) = j

где i, j ? 0.

Если при каких-то i, j ? 0 p_ij =0, то это означает, что при заранее фиксированных s₁,s₂, t₁,t₂, в которых s₁?s₂ и t₁?t₂, а также t₁-t₂ = i, s₁-s₂ = j, система (1) заведомо не имеет решения, ибо в противном случае имела бы решение и система (2).

Заметим, что p_ij = p₍₂ⁿ_-i)(2ⁿ_-j). Действительно, каждому решению (x₁,y₁) системы (2) можно поставить во взаимно однозначное соответствие решение (x₂,y₂)=(y₁,x₁) системы

x-y = 2ⁿ-i

?(x) - ?(y) = 2ⁿ-j

если домножить на –1 оба уравнения (2).

Из системы (2) очевидно вытекает, что число ее решений равно числу значений y, при которых

?(y+i) - ?(y) = j (3)

Если каждому решению (x₁,y₁) системы (2) поставить во взаимно-однозначное соответствие пару (x₂,y₂) = (?^-1(x₁),?^-1(y₁)), то такая пара будет решением системы

x-y = j (4)

?^-1(x) - ?^-1(y) = i

Следовательно, число решений системы (2) будет равно числу значений y, при которых

?^-1(y+j) - ?^-1(y) = i (5)

Из (3) очевидно вытекает, что сумма всех элементов p_ij в i-ой строке при любом i равна 2ⁿ. Аналогично, из (5) вытекает, что сумма всех элементов p_ij в j-ом столбце при любом j равна 2ⁿ.

Поскольку размер P(?) равен (2ⁿ-1)x(2ⁿ-1), то из условия, что сумма всех элементов p_ij в i-ой строке при любом i равна 2ⁿ следует, что если бы P(?) не содержала нулей, то в любой ее строке все элементы были бы равны 1, кроме одного, равного 2. Аналогично получаем, что в этом случае в любом столбце должны быть все элементы 1, кроме одного, равного 2.

Если при некотором y выполняется

?(y+2^n-1) - ?(y) = 2^n-1, (6)

то, поскольку 2ⁿ–2^n-1 = 2^n-1, то (6) будет справедливо и при значении y₁ = y+2^n-1. Таким образом, элемент p₍₂^n-1₎₍₂^n-1₎ не может быть нечетным.

Предположим, что некоторая i-я строка целиком ненулевая. Это означает, что среди значений j₀,j₁,…,j₂ⁿ_-1, получаемых по формуле

j_k =?(k+i)- ?(k) (7)

содержатся все ненулевые элементы из Z/2ⁿ, а какой-то один элемент встретился ровно 2 раза.

Просуммируем соотношение (7) по всем k от 0 до 2ⁿ-1. Поскольку ? - подстановка, то в правой части суммы получается 0, следовательно, сумма всех значений j_k также должна быть нулевой.

Но среди j₀,j₁,…,j₂ⁿ_-1 содержатся все ненулевые элементы из Z/2ⁿ, а какой-то один элемент встретился ровно 2 раза. Поскольку сумма (по модулю 2ⁿ) всех ненулевых элементов кольца Z/2ⁿ равна 2^n-1(2ⁿ-1) = 2^n-1, то элементом, встретившимся два раза, должно быть 2^n-1.

Тогда, в силу свойства p_ij = p₍₂ⁿ_-i)(2ⁿ_-j) для любого значения i должно выполняться

p_i2^n-1 = p₍₂ⁿ_-i)2^n-1 = 2

и при i?2^n-1 получается, что в 2^n-1 столбце как минимум 2 элемента равны 2. Следовательно, если некоторая i-я строка при i?2^n-1 целиком ненулевая, то 2^n-1 столбец заведомо содержит хотя бы один нулевой элемент, т.е. множество (G?)2 не является 2-транзитивным ни при какой подстановке ?.

И еще отсюда сразу же вытекает, что общее число нулей в матрице P(?) не может быть меньше, чем 2ⁿ-3. В этом случае в матрице ровно две ненулевых строки, расположенных симметрично друг от друга, а в средней строке с номером 2^n-1 ровно одно нулевое значение посередине: p₍₂^n-1₎₍₂^n-1₎ = 0.

Подобными же методами легко показать, что в общем случае множество (G?)^k является 2-транзитивным при k>2 в том и только том случае, когда матрица P(?)^k-1 не содержит нулей. В частности, множество (G?)³ является 2-транзитивным тогда и только тогда, когда матрица P(?)² не содержит нулей.

Стало ясно, в каком направлении вести математические раскопки теории шифров на новой элементной базе: изучать матрицы P(?) для различных подстановок ?. Здесь сразу же выделялись плохие подстановки – это линейные преобразования вида

?(x) = ax+b

В этом случае при любом фиксированном i?0 система (2) имеет решение только при одном значении j?0, такая матрица заведомо не будет положительной ни в какой степени и свойство 2-транзитивности недостижимо. Число нулей у такой матрицы будет максимальным.

А можно ли построить подстановки с минимально возможным числом нулей в матрице P(?)? Этот вопрос уже гораздо интереснее, простого и тривиального ответа на него нет. Пока. Но в следующих главах этой книги ситуация проясниться и в конечном итоге получится очень красивый результат.

Но это больше теоретические дебри. С точки зрения практического применения гораздо важнее знать, чего можно ожидать от матрицы P(?) при случайном и равновероятном выборе ?. И здесь были доказаны очень важные теоремы о том, что в среднем ненулевых элементов в этой матрице будет примерно 2/3, что с вероятностью, близкой к 1, при случайном и равновероятном выборе ? матрица P(?)² не будет содержать нулевых элементов, а группа <g,?> будет совпадать с симметрической. В общем, все то, что требуется для использования подстановки ? в качестве случайного разового ключа.

Вот такая была предыстория работ по шифрам на новой элементной базе. А ребята из НИИ Автоматики, по мотивам всех этих результатов, придумали следующую схему блочного шифра, работающего на основе байтового регистра сдвига и использующего только самые типовые операции с байтами, которые заложены в архитектуру появлявшихся тогда микропроцессоров. Эту схему назвали «Ангстрем-3».

В ней два регистра сдвига, работающих с байтами. В первый регистр сдвига длиной 8 байт записывается 8-байтовый блок открытого текста, во второй – ключ, или как его еще можно здесь назвать входное слово, длины Т для первого регистра. Схема крутится Т тактов, после чего заполнение первого регистра выдается в качестве 8 байтового блока шифртекста. Типичный блочный шифр, все операции сложения – в кольце Z/256, реализация – изумительно простая, если писать программу, то это буквально две-три строки.

Но программы будут позже, а пока, в 1980 году, эту схему предполагалось реализовывать аппаратно, с помощью типовых микропроцессоров, работающих с байтами. Идеи подстановки-ключа тоже появятся позже, первоначально предполагалось? выбрать и зафиксировать. А главный вопрос, который интересовал НИИ Автоматики – до какого предела можно уменьшать значение Т, количество тактов, которые должна отработать схема для зашифрования одного блока. Чем меньше Т, тем выше скорость шифрования, а это было для них определяющим фактором.

– Нельзя ли выбрать Т=16?

Нужно подумать.

Так начиналась моя осмысленная работа в Теоретическом отделе. Перед глазами - чистая тетрадь, отчеты 4 факультета и НИИ Автоматики, сиди и думай, нельзя ли выбрать Т=16.